Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 76

Anteriormente, enunciei o seguinte:
Se prestarmos atenção aos elementos geométricos avançados por Tales, podemos desenvolver outras questões fundamentais para o futuro da matemática, como veio a verificar-se. 
Veja-se as seguintes noções actuais em termos de geometria a caminho da trigonometria.

Actualmente, considera-se a seguinte noção de figuras semelhantes:

Dada uma figura, obtém-se outra figura, imagem da primeira, a partir de dois tipos de transformação no plano a seguir indicadas, essas transformações são tais que preservam os ângulos nas duas figuras, elas têm a mesma forma, podendo variar o seu tamanho, a sua posição no plano e a sua orientação.

1 – Isometria

Aplicação que transforma uma figura noutra preservando as distâncias entre os pontos das figuras. Os ângulos da segunda figura têm a mesma amplitude dos ângulos da primeira imagem, ou seja as figuras têm a mesma forma. E, os segmentos de recta da segunda figura são iguais aos da primeira quanto à sua medida, podendo variar de direcção e sentido, portanto, mantém-se o tamanho e sua posição e sentido podem variar.

Exemplos deste tipo de transformação: Rotação (roda sobre um ponto), translacção (deslocação de todos pontos segundo a mesma distância) e reflexão (sobreposição de uma sobre outra segundo um eixo).

Existem outras isometrias mais complexas.

Neste tipo as figuras têm a mesma forma e o mesmo tamanho, podendo variar a sua orientação.

2 – Homotetia

Aplicação que, dado um ponto fixo A, através de uma razão multiplicativa positiva, gera uma segunda figura ampliação da primeira, e se a razão multiplicativa é negativa gera-se uma segunda figura considerada uma redução da primeira.

A homotetia preserva os ângulos (a mesma forma), as razões entre os segmentos de recta (os segmentos são proporcionados) e o paralelismo. Repare-se que, em função da constante de racionalidade, a segunda figura orienta-se num sentido ou noutro.

Segmentos de recta congruentes

Dois segmentos de recta AB e A’B’ são congruentes se na sobreposição dos dois todos os seus pontos coincidam os de um com os dos outro, bastando para tal que os seus extremos coincidam. Os, transladando um segmento sobre o outros todos os seus pontos coincidem. Portanto apresentam a mesma medida de comprimento. 

Ângulos congruentes

Ângulos com a mesma amplitude, não é necessário possuírem a mesma orientação, nem é forçoso que estejam sobre segmentos do mesmo tamanho. 

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Metafísica de Tales de Mileto - MD- Momento 75

C1 - Dois planos que nascem no infinito:

P definido pelas rectas p e u

Q definido pelas rectas q e v.

Os dois planos são transversais na recta y.

C2 – O plano R, também nascido no infinito, que secciona os dois planos já referidos, e que é definido pelas rectas u e v.
R vai ser o campo de trabalho de Tales
Nota: afirmei planos nascidos no infinito, poderia ter dito e que morrem no infinito. Mas, repare-se no avanço da matemática na actualidade, a noção de plano circunscreve-se à nossa proximidade, para lá dela os planos tendem a ser curvos. Tal é hoje.
Tales alisa completamente a superfície de areia fina e húmida no interior do seu caixote. Vai ser auxiliado por dois pauzitos finos e aguçados numa das pontas, nas outras duas pontas ata uma corda também fina. Tales não se esqueceu de uma régua o mais perfeita possível em pinho, na qual podia efectuar marcações. 

A partir disto vamos ver a grande capacidade de abstracção de Tales. Percepciona a realidade, gera representações mentais que procuram traduzir essa realidade e, ao trabalhar as relações que pode estabelecer através delas, faz evoluir o pensamento, concedendo-nos a possibilidade de aperfeiçoarmos a nossa análise da realidade. Fundamentalmente, a sua capacidade encontrava-se nas características das linhas, ângulos, círculos e triângulos, o que é um tanto diferente das habilidades egípcias que se encontravam na orientação, na medição e no cálculo,

 Pergunta-se: Que interesse tem isso?

A resposta encontra-se ao percepcionar a arquitectura clássica grega e a importância que os seus avanços tiveram para as diversas academias gregas e, principalmente, para todos nós. 

Com aqueles instrumentos vai apresentar o seu primeiro desenho: 

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Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 74

Só que Tales vai servir-se de outra proposta que trazia na sua mente, atentemos:

Quando duas rectas transversais que se cruzam num ponto cortam um conjunto de rectas paralelas, as medidas dos segmentos de recta delimitados nas transversais são proporcionais.

Vários séculos depois, este enunciado veio designar-se por “Enunciado Clássico do Teorema de Tales”.

Assim, na mesma ocasião, em que efectuou o cálculo até agora desenvolvido, lembrou-se de deslocar o cajado para trás do fim da sombra da pirâmide, os, afastada exactamente o comprimento do seu cajado, a sua mente elaborou a seguinte imagem. 

-Meu amigo risque nesse caixote de areia fina e molhada esta imagem. Risque com o pau mais fininho que tiver.

-Você está a ver duas linhas a direito transversais que se cruzam num ponto. Vê também duas linhas a direito, dispostas lado a lado, que atravessam as anteriores.

-Vejo, sim senhor.

Tendo em conta a sua proposta, você volta a dizer:

Sp está para sC, assim como hP está para hC, de tal modo que hP / hC = sP /sC!

-Exacto, mas não se esqueça que hC = sC.

-Chegamos ao mesmo resultado!

-Exactamente. 

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Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 73

	Substantivo (Palavra que evidencia a substância, a natureza, do que é designado pelo nome que modifica)	Adjectivo (Palavra que qualifica, determina ou relaciona o nome, permite variação do género, número e grau)
Congruência	Palavras relacionadas: Proporção, adequação, conveniência, coerência, propriedade. Conveniência - enquanto indica que existe uma relação adequada (directa) entre uma coisa (objecto, facto) e o fim para que tende. Coerência – relação harmoniosa das partes de um todo. Propriedade – relação de conformidade com alguma coisa.
Congruente		Palavras relacionadas: Proporcionado, conveniente, coerente Indica que há congruência entre uma coisa e outra
Semelhança	Palavras relacionadas: Parecença, similitude, conformidade, analogia, imitação, confronto. Indica a qualidade de semelhante
Semelhante		Palavras relacionadas: Parecido, análogo, idêntico, igual, comparável. Indica que: Tem semelhança com outrem ou com outra coisa São da mesma espécie, da mesma natureza, da mesma qualidade. Parecença no aspecto, no carácter.
Proporcionalidade	Qualidade ou carácter do que é proporcional Directa: y = k * x Inversa: y = k * 1 / x
Proporcional		Palavras relacionadas: Regular, harmónico, simétrico, bem proporcionado Indica o que: Se diz de valores equivalentes ou constantes. Varia na mesma relação com outro. É proporcionado.

Nota: Desenho feito pelo autor, tomando como referência os dicionários de língua portuguesa sem acordo ortográfico da Porto Editora e da Priberam.

Se prestarmos atenção aos elementos geométricos avançados por Tales, podemos desenvolver outras questões fundamentais para o futuro da matemática, como veio a verificar-se. 

Este quadro exploratório em certa medida atira-nos para esse caminho. Vincadamente, mostra o valor que a filosofia detém no avanço da humanidade, os, auxilia-nos a entender as coisas, podendo depois gerar novas coisas. 

Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 72

Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 71

Diógenes Laércio (século III D.C)

“Hierónimos (discípulo de Aristóteles) diz que Tales mediu as pirâmides pela sombra, depois de observar o tempo que a nossa própria sombra demora a ficar igual à nossa altura.”

Supostamente, Hierónimo atribui a Tales o método mais simples para medir a altura de uma pirâmide.

Ao meditar sobre o assunto verifica que o seu cajado tem a sua altura (hT=hC). De imediato espeta o cajado no chão e na vertical. O cajado projecta a sua sC (sombra do cajado) e abstrai um segundo triângulo. Ao espetar na vertical o cajado está a projectar uma nova figura semelhante à primeira.  

Ora, se dois triângulos possuem três arcos internos iguais, e os três lados são proporcionados, então estamos perante figuras com igual forma e tamanho diferentes, estamos na presença de figuras semelhantes. Perante esta situação pode estabelecer comparação entre os lados e alcançar o resultado desejado.

hP / hC  =  sP / sC

hP  =  sP x hC/sC

hP = 150 m

Segunda comparação

Embora, a primeira comparação seja algo que pode ter sido já assimilado por outras culturas, Tales dá-lhe outro aproveitamento, se entrarmos com a segunda comparação a seguir.

Tales entra definitivamente pela porta da matemática, ao encontrar a identidade entre duas razões.

Hoje, milhares de milhões de identidades dão corpo à matemática.  

Ao visionar os dois triângulos constata que são semelhantes, de onde, neste período notório, hP está para hC, assim como sP está para a sC, os, a razão hP/hC é idêntica à razão sP/sC,  hP/hC = sP/sC.

No avançar até ao meio dia, de um dois dias especiais do ano, verifica num determinado momento que a sC é do mesmo cumprimento que a hC. Logo, hC/sC = 1.

Salienta-se que a unidade de medida 1m, não é ainda conhecida. A unidade escolhida poderia ser a distância entre dois nós da corda do agrimensor.

Três exigências se colocaram, ao fim e ao cabo:

1 – Os triângulos apresentavam arcos iguais.

2 - sP = hP.

3 – A sombra é perpendicular à base.

Para tal, há quem diga:

“Para que a sombra seja igual ao objeto, os raios têm de estar inclinados a 45°. E, para que ela seja perpendicular à base, tem de estar orientada norte-sul. Ora, essas condições só estão reunidas em dois dias do ano: 21 de Novembro ou 20 de Janeiro. Em suma, são raros os períodos do ano em que o Sol se encontra em posição de oferecer uma sombra privilegiada para que se possa fazer as medições para se determinar, de forma um pouco 

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Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 70

determinado momento, a sombra efectiva da pirâmide. Contudo, continua a não dispor dos meios para o cálculo da hp.

Seria do seu conhecimento a noção de que existem figuras (geométricas) que são idênticas (iguais) e outras que se assemelham (por serem maiores ou menores). O grau com que se assemelham e se tornam idênticas as figuras é determinado fundamentalmente pelo valor dos arcos (forma das figuras) e pelo valor do comprimento dos lados (tamanho da figura).

Na identidade, há uma igualdade entre os arcos (a mesma forma) e a igualdade entre os comprimentos (o mesmo tamanho) de um e os correspondentes de outro. A figura como que se deslocou segundo uma linha a direito.

A razão entre os arcos correspondentes é um, assim como a razão entre os comprimentos dos lados correspondentes é também um.

No caso da semelhança, há a igualdade entre os arcos (a mesma forma) e os comprimentos dos lados podem variar, a segunda imagem da figura inicial é obtida por reflexão:

-Redução de escala., se o comprimento dos lados correspondentes da segunda figura for menor. Obteve-se uma imagem da primeira figura menor.

-Aumento de escala, se o comprimento dos lados correspondentes da segunda figura for maior. A imagem obtida da primeira figura é maior.  

Na redução e no aumento, os comprimentos dos lados correspondentes da segunda figura são proporcionados em relação aos da primeira. Na redução a razão dos comprimentos é inferior a um. No aumento é superior a um. Os lados estão em proporção, os lados são proporcionais.

As figuras semelhantes têm a mesma forma e o seu tamanho pode variar. Em termos gerais, Se a razão de proporcionalidade entre dois lados correspondentes for inferior a um, a segunda figura é menor que a primeira. Se for igual a um, as figuras são praticamente idênticas. Se for superior a um, a segunda figura obtida é maior.

Repare-se que, na pirâmide a hp é sempre do mesmo valor, só varia a sp com o movimento do sol.  

Tales apercebeu-se pela semelhança dos dois triângulos, a "qualidade da proporcionalidade».  

No cálculo da hp, Tales podia utilizar uma proposta que andava na sua cabeça há já algum tempo, que privilegia a forma das figuras:

“Os triângulos com arcos iguais têm os seus lados proporcionais”.

Assim, obtido o triângulo segundo a pirâmide, necessitava de mais um triângulo semelhante ao primeiro para concretizar a comparação de proporcionalidade, no fundo estabelecer uma identidade entre razões.  

Trazendo os doxógrafos para aqui:

Plutarco (séc. I/II d.C.)

-Colocando a prumo uma vara no final da sombra da pirâmide e fazendo dois triângulos com a linha que traça o raio do sol quando toca as duas extremidades, mostrou que havia uma certa proporção entre a altura da pirâmide e a da vara correspondente ao comprimento da sombra de um à sombra de outro. 

continua

Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 69

O percurso era medido em mãos

A elevação era medida em cúbitos, 1 cúbito = 7 mãos.

-Olhando para outras pirâmides, apercebi-me que o seqt é o comprimento do degrau, eles construíram as pirâmides degrau a degrau, de modo que tivessem sempre o mesmo seqt, mas nesta a superfície da face é lisa. Os sacerdotes não avançam com o valor do seqt! Tenho que ir por outras vias.

Nos meus aposentos, tenho que pensar numa solução mais prática que me permita analisar tudo isto. Talvez, tenha que fazer uns riscos num papiro, ou riscar com um pau fininho num caixote de areia fina e molhada. Não vou analisar a questão só neste local.

Já nos seus aposentos, desenha a pirâmide numa caixa de areia fina.

Outro dos conhecimentos que deteria, era a noção de triângulo, figura de três lados, cujos arcos internos são descritos pelos lados, em torno dos vértices.

É possível que tenha tido a capacidade de abstrair o eixo vertical da pirâmide do seu vértice até à base. E, abstrair o triângulo formado por essa linha, pela linha sombra perpendicular à base e pelo lado que une as duas linhas.

Tomando por base o desenho da pirâmide, por abstracção, desenha na areia o referido triângulo. Ao levar avante tal desenho, Tales pela primeira vez serve-se da redução de escala, obtém uma imagem mais pequena em tamanho, mantendo a mesma forma.

Ao longo de um dia, senão ao longo de vários dias, intuitivamente, podia comparar o quanto cabia o tamanho de uma sombra de um objecto no próprio tamanho do objecto. Os, ele apoderou-se da noção de ratio, o quanto uma coisa está para outra, o quantas vezes cabe noutra. Ao repetir esta experiência verificava que esta razão, para o mesmo objecto, variava ao longo do dia. Ao constatar esta relação, Tales avança com o primeiro passo para o início daquilo que se virá a chamar de Matemática.

Primeira comparação

A hp desconhecida está para a sua sp, sendo mais notória, em certos momentos da manhã e da tarde. Tales ao dividir a hp e sp em partes iguais e verificar quantas dessas partes da sp se justapunham às partes da hp, abre a porta da matemática, mas ainda não entrou por ela a dentro.

Qualquer agrimensor certificava-o do comprimento de qualquer lado da base, os, 440 cúbitos.

*1 cúbito = 0,53 m

Num determinado momento da manhã verificou que a linha de sombra se prolongava para além do vértice da base. Como já possuía o comprimento de metade da base (220 cúbitos), mandou medir o comprimento da sombra à vista, passando a conhecer nesse momento o comprimento da sp (sombra efectiva da pirâmide).

O que é que sabia até aqui?

Sabia o comprimento da base do triângulo, o arco hp sp é um quarto do círculo porque hp (altura da pirâmide) cai na vertical sobre sp (sombra efectiva da pirâmide) e que os outros dois arcos dentro do triângulo são mais pequenos que o primeiro, e que podia calcular, em

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Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 68

A Filosofia (área de debate e estudo) nunca devia se ter separado integralmente da matemática. É verdade, é um caminho difícil e árduo. Só que esse caminho foi apontado.

Quando Tales visitou Gizé, numa das suas estadias no Egipto, a Grande Pirâmide já contava aproximadamente 1000 anos de existência, apesar disso a sua altura permanecia desconhecida ou seria um segredo bem guardado reserva de alguns.

O Faraó Amásis, por entreposta pessoa, desafiou Tales a proceder ao cálculo de tal altura. Pedido esse que veio a satisfazer, caindo em graça não só do Faraó como também do deus Rá.

Supõe-se que Tales tenha calculado, por triangulação, segundo o que aprendeu no Egipto.

Plínio (séc. I d.C.)  e Plutarco gravaram versões do evento. Laércio (séc. XIII d.C.) e Proclo (séc. V d.C.) dão referências sobre este assunto. 

Parta-se do pressuposto de que, ele era bastante observador, dotado de alguma experiência, ousava em experimentar e que estava a utilizar conhecimentos teóricos rudimentares.

Entre conhecimentos, podemos citar a noção de linha real (passível de ser medida e comparada) e de linha imaginária (passível de ser calculada e comparada).

Através da observação, não seria alheio ao facto de que o Sol descreve uma trajectória desde que nasce até que se põe. E, que o sol, em cada momento, incide de igual modo sobre as coisas, seja elas uma pirâmide ou o seu cajado, à medida que descreve a sua trajectória ao longo do dia.

Ao visionar o sol a incidir sobre a pirâmide, deve ter verificado que a sua sombra varia ao longo do dia. E, dado o movimento do sol ao longo do ano, a inclinação da estrela vai variando consoante o dia do ano.

É possível que fosse do seu conhecimento de que o sol naquele lugar descreve a sua trajectória de norte para sul. Ao nascer do sol, a sombra é mais longa voltada para sul, ao meio-dia é nula e, à medida que a tarde avança, a sombra vai aumentando voltada para norte.  

Provavelmente, ele não se limitou a visitar o Egipto fugidiamente, mas permaneceu por lá algum tempo. O que lhe permitiu concretizar os seus negócios, conviver com outra cultura e assimilar os conhecimentos detidos pelos homens de cultura (sacerdotes, agrimensores e arquitectos).

Tales andava perplexo com as dimensões da pirâmide.

-Como é que os Egípcios construíram uma coisa tão grande? Quando estou próximo deste monstro, pareço uma mosca! É uma obra colossal. Eles devem ter conhecimentos relevantes adquiridos pelos construtores ao longo do tempo. Fala-se muito do seqt. Procurei entender o seu significado, só que me falta uma peça fundamental.

A ideia que tenho do seqt é o seguinte: 

O Seqt é uma peça importante no cálculo da inclinação da face oblíqua de uma pirâmide em relação à vertical.

Seqt = percurso / elevação da pirâmide. 

Seqt = ox / oy 

continua