Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 77

Com aqueles instrumentos apresenta o seu primeiro desenho:

 Segundo Proclo (séc. V a. C.), Tales afirma:

“Se duas rectas se cruzam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais”

O cruzamento das rectas gera ângulos opostos congruentes. Isto é, o “ângulo” a1 = a4 e o “ângulo” a5 = a3. Neste caso bastava-lhe sobrepor um ângulo sobre outro, servindo-se de um bocado de pano, para verificar que a amplitude era a mesma.

Mas, Tales ao descrever estes arcos, lembrou-se de uma nova situação, descrever um arco completo e fechado, utilizando um pauzito fixo no ponto A e com o outro seguro pela cordita descreve um círculo.

 Segundo Proclo (séc. V d.C.), Tales volta afirmar o seguinte:

Um diâmetro do círculo é uma linha recta traçada através do centro e terminada em ambas as direcções na circunferência do círculo; uma linha recta que também corta o círculo.

Actualmente afirmamos:

Qualquer diâmetro divide o círculo em partes iguais, ou

Um círculo é bissectado por um diâmetro.

Ao definir um diâmetro num círculo, ele origina dois ângulos congruentes de amplitude igual a 180 graus.

Tales ao sobrepor o semicírculo de cima ao semicírculo de baixo verifica-se que as duas superfícies coincidem.  

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Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 76

Anteriormente, enunciei o seguinte:
Se prestarmos atenção aos elementos geométricos avançados por Tales, podemos desenvolver outras questões fundamentais para o futuro da matemática, como veio a verificar-se. 
Veja-se as seguintes noções actuais em termos de geometria a caminho da trigonometria.

Actualmente, considera-se a seguinte noção de figuras semelhantes:

Dada uma figura, obtém-se outra figura, imagem da primeira, a partir de dois tipos de transformação no plano a seguir indicadas, essas transformações são tais que preservam os ângulos nas duas figuras, elas têm a mesma forma, podendo variar o seu tamanho, a sua posição no plano e a sua orientação.

1 – Isometria

Aplicação que transforma uma figura noutra preservando as distâncias entre os pontos das figuras. Os ângulos da segunda figura têm a mesma amplitude dos ângulos da primeira imagem, ou seja as figuras têm a mesma forma. E, os segmentos de recta da segunda figura são iguais aos da primeira quanto à sua medida, podendo variar de direcção e sentido, portanto, mantém-se o tamanho e sua posição e sentido podem variar.

Exemplos deste tipo de transformação: Rotação (roda sobre um ponto), translacção (deslocação de todos pontos segundo a mesma distância) e reflexão (sobreposição de uma sobre outra segundo um eixo).

Existem outras isometrias mais complexas.

Neste tipo as figuras têm a mesma forma e o mesmo tamanho, podendo variar a sua orientação.

2 – Homotetia

Aplicação que, dado um ponto fixo A, através de uma razão multiplicativa positiva, gera uma segunda figura ampliação da primeira, e se a razão multiplicativa é negativa gera-se uma segunda figura considerada uma redução da primeira.

A homotetia preserva os ângulos (a mesma forma), as razões entre os segmentos de recta (os segmentos são proporcionados) e o paralelismo. Repare-se que, em função da constante de racionalidade, a segunda figura orienta-se num sentido ou noutro.

Segmentos de recta congruentes

Dois segmentos de recta AB e A’B’ são congruentes se na sobreposição dos dois todos os seus pontos coincidam os de um com os dos outro, bastando para tal que os seus extremos coincidam. Os, transladando um segmento sobre o outros todos os seus pontos coincidem. Portanto apresentam a mesma medida de comprimento. 

Ângulos congruentes

Ângulos com a mesma amplitude, não é necessário possuírem a mesma orientação, nem é forçoso que estejam sobre segmentos do mesmo tamanho. 

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Metafísica de Tales de Mileto - MD- Momento 75

C1 - Dois planos que nascem no infinito:

P definido pelas rectas p e u

Q definido pelas rectas q e v.

Os dois planos são transversais na recta y.

C2 – O plano R, também nascido no infinito, que secciona os dois planos já referidos, e que é definido pelas rectas u e v.
R vai ser o campo de trabalho de Tales
Nota: afirmei planos nascidos no infinito, poderia ter dito e que morrem no infinito. Mas, repare-se no avanço da matemática na actualidade, a noção de plano circunscreve-se à nossa proximidade, para lá dela os planos tendem a ser curvos. Tal é hoje.
Tales alisa completamente a superfície de areia fina e húmida no interior do seu caixote. Vai ser auxiliado por dois pauzitos finos e aguçados numa das pontas, nas outras duas pontas ata uma corda também fina. Tales não se esqueceu de uma régua o mais perfeita possível em pinho, na qual podia efectuar marcações. 

A partir disto vamos ver a grande capacidade de abstracção de Tales. Percepciona a realidade, gera representações mentais que procuram traduzir essa realidade e, ao trabalhar as relações que pode estabelecer através delas, faz evoluir o pensamento, concedendo-nos a possibilidade de aperfeiçoarmos a nossa análise da realidade. Fundamentalmente, a sua capacidade encontrava-se nas características das linhas, ângulos, círculos e triângulos, o que é um tanto diferente das habilidades egípcias que se encontravam na orientação, na medição e no cálculo,

 Pergunta-se: Que interesse tem isso?

A resposta encontra-se ao percepcionar a arquitectura clássica grega e a importância que os seus avanços tiveram para as diversas academias gregas e, principalmente, para todos nós. 

Com aqueles instrumentos vai apresentar o seu primeiro desenho: 

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Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 74

Só que Tales vai servir-se de outra proposta que trazia na sua mente, atentemos:

Quando duas rectas transversais que se cruzam num ponto cortam um conjunto de rectas paralelas, as medidas dos segmentos de recta delimitados nas transversais são proporcionais.

Vários séculos depois, este enunciado veio designar-se por “Enunciado Clássico do Teorema de Tales”.

Assim, na mesma ocasião, em que efectuou o cálculo até agora desenvolvido, lembrou-se de deslocar o cajado para trás do fim da sombra da pirâmide, os, afastada exactamente o comprimento do seu cajado, a sua mente elaborou a seguinte imagem. 

-Meu amigo risque nesse caixote de areia fina e molhada esta imagem. Risque com o pau mais fininho que tiver.

-Você está a ver duas linhas a direito transversais que se cruzam num ponto. Vê também duas linhas a direito, dispostas lado a lado, que atravessam as anteriores.

-Vejo, sim senhor.

Tendo em conta a sua proposta, você volta a dizer:

Sp está para sC, assim como hP está para hC, de tal modo que hP / hC = sP /sC!

-Exacto, mas não se esqueça que hC = sC.

-Chegamos ao mesmo resultado!

-Exactamente. 

Continua