Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 73

	Substantivo (Palavra que evidencia a substância, a natureza, do que é designado pelo nome que modifica)	Adjectivo (Palavra que qualifica, determina ou relaciona o nome, permite variação do género, número e grau)
Congruência	Palavras relacionadas: Proporção, adequação, conveniência, coerência, propriedade. Conveniência - enquanto indica que existe uma relação adequada (directa) entre uma coisa (objecto, facto) e o fim para que tende. Coerência – relação harmoniosa das partes de um todo. Propriedade – relação de conformidade com alguma coisa.
Congruente		Palavras relacionadas: Proporcionado, conveniente, coerente Indica que há congruência entre uma coisa e outra
Semelhança	Palavras relacionadas: Parecença, similitude, conformidade, analogia, imitação, confronto. Indica a qualidade de semelhante
Semelhante		Palavras relacionadas: Parecido, análogo, idêntico, igual, comparável. Indica que: Tem semelhança com outrem ou com outra coisa São da mesma espécie, da mesma natureza, da mesma qualidade. Parecença no aspecto, no carácter.
Proporcionalidade	Qualidade ou carácter do que é proporcional Directa: y = k * x Inversa: y = k * 1 / x
Proporcional		Palavras relacionadas: Regular, harmónico, simétrico, bem proporcionado Indica o que: Se diz de valores equivalentes ou constantes. Varia na mesma relação com outro. É proporcionado.

Nota: Desenho feito pelo autor, tomando como referência os dicionários de língua portuguesa sem acordo ortográfico da Porto Editora e da Priberam.

Se prestarmos atenção aos elementos geométricos avançados por Tales, podemos desenvolver outras questões fundamentais para o futuro da matemática, como veio a verificar-se. 

Este quadro exploratório em certa medida atira-nos para esse caminho. Vincadamente, mostra o valor que a filosofia detém no avanço da humanidade, os, auxilia-nos a entender as coisas, podendo depois gerar novas coisas. 

Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 72

Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 71

Diógenes Laércio (século III D.C)

“Hierónimos (discípulo de Aristóteles) diz que Tales mediu as pirâmides pela sombra, depois de observar o tempo que a nossa própria sombra demora a ficar igual à nossa altura.”

Supostamente, Hierónimo atribui a Tales o método mais simples para medir a altura de uma pirâmide.

Ao meditar sobre o assunto verifica que o seu cajado tem a sua altura (hT=hC). De imediato espeta o cajado no chão e na vertical. O cajado projecta a sua sC (sombra do cajado) e abstrai um segundo triângulo. Ao espetar na vertical o cajado está a projectar uma nova figura semelhante à primeira.  

Ora, se dois triângulos possuem três arcos internos iguais, e os três lados são proporcionados, então estamos perante figuras com igual forma e tamanho diferentes, estamos na presença de figuras semelhantes. Perante esta situação pode estabelecer comparação entre os lados e alcançar o resultado desejado.

hP / hC  =  sP / sC

hP  =  sP x hC/sC

hP = 150 m

Segunda comparação

Embora, a primeira comparação seja algo que pode ter sido já assimilado por outras culturas, Tales dá-lhe outro aproveitamento, se entrarmos com a segunda comparação a seguir.

Tales entra definitivamente pela porta da matemática, ao encontrar a identidade entre duas razões.

Hoje, milhares de milhões de identidades dão corpo à matemática.  

Ao visionar os dois triângulos constata que são semelhantes, de onde, neste período notório, hP está para hC, assim como sP está para a sC, os, a razão hP/hC é idêntica à razão sP/sC,  hP/hC = sP/sC.

No avançar até ao meio dia, de um dois dias especiais do ano, verifica num determinado momento que a sC é do mesmo cumprimento que a hC. Logo, hC/sC = 1.

Salienta-se que a unidade de medida 1m, não é ainda conhecida. A unidade escolhida poderia ser a distância entre dois nós da corda do agrimensor.

Três exigências se colocaram, ao fim e ao cabo:

1 – Os triângulos apresentavam arcos iguais.

2 - sP = hP.

3 – A sombra é perpendicular à base.

Para tal, há quem diga:

“Para que a sombra seja igual ao objeto, os raios têm de estar inclinados a 45°. E, para que ela seja perpendicular à base, tem de estar orientada norte-sul. Ora, essas condições só estão reunidas em dois dias do ano: 21 de Novembro ou 20 de Janeiro. Em suma, são raros os períodos do ano em que o Sol se encontra em posição de oferecer uma sombra privilegiada para que se possa fazer as medições para se determinar, de forma um pouco 

continua

Metafísica de Tales de Mileto - MD - Momento 70

determinado momento, a sombra efectiva da pirâmide. Contudo, continua a não dispor dos meios para o cálculo da hp.

Seria do seu conhecimento a noção de que existem figuras (geométricas) que são idênticas (iguais) e outras que se assemelham (por serem maiores ou menores). O grau com que se assemelham e se tornam idênticas as figuras é determinado fundamentalmente pelo valor dos arcos (forma das figuras) e pelo valor do comprimento dos lados (tamanho da figura).

Na identidade, há uma igualdade entre os arcos (a mesma forma) e a igualdade entre os comprimentos (o mesmo tamanho) de um e os correspondentes de outro. A figura como que se deslocou segundo uma linha a direito.

A razão entre os arcos correspondentes é um, assim como a razão entre os comprimentos dos lados correspondentes é também um.

No caso da semelhança, há a igualdade entre os arcos (a mesma forma) e os comprimentos dos lados podem variar, a segunda imagem da figura inicial é obtida por reflexão:

-Redução de escala., se o comprimento dos lados correspondentes da segunda figura for menor. Obteve-se uma imagem da primeira figura menor.

-Aumento de escala, se o comprimento dos lados correspondentes da segunda figura for maior. A imagem obtida da primeira figura é maior.  

Na redução e no aumento, os comprimentos dos lados correspondentes da segunda figura são proporcionados em relação aos da primeira. Na redução a razão dos comprimentos é inferior a um. No aumento é superior a um. Os lados estão em proporção, os lados são proporcionais.

As figuras semelhantes têm a mesma forma e o seu tamanho pode variar. Em termos gerais, Se a razão de proporcionalidade entre dois lados correspondentes for inferior a um, a segunda figura é menor que a primeira. Se for igual a um, as figuras são praticamente idênticas. Se for superior a um, a segunda figura obtida é maior.

Repare-se que, na pirâmide a hp é sempre do mesmo valor, só varia a sp com o movimento do sol.  

Tales apercebeu-se pela semelhança dos dois triângulos, a "qualidade da proporcionalidade».  

No cálculo da hp, Tales podia utilizar uma proposta que andava na sua cabeça há já algum tempo, que privilegia a forma das figuras:

“Os triângulos com arcos iguais têm os seus lados proporcionais”.

Assim, obtido o triângulo segundo a pirâmide, necessitava de mais um triângulo semelhante ao primeiro para concretizar a comparação de proporcionalidade, no fundo estabelecer uma identidade entre razões.  

Trazendo os doxógrafos para aqui:

Plutarco (séc. I/II d.C.)

-Colocando a prumo uma vara no final da sombra da pirâmide e fazendo dois triângulos com a linha que traça o raio do sol quando toca as duas extremidades, mostrou que havia uma certa proporção entre a altura da pirâmide e a da vara correspondente ao comprimento da sombra de um à sombra de outro. 

continua